ax² + bx + c = 0의 계수 a, b, c를 입력하면 판별식(D = b² − 4ac)과 두 근, 꼭짓점 좌표를 즉시 구해줍니다. 실근·중근·허근 모두 처리합니다.
근의 공식 (Quadratic Formula)
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해는 근의 공식으로 구합니다.
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)판별식 D = b² − 4ac의 부호에 따라 근의 종류가 결정됩니다.
| 판별식 D | 근의 종류 | 개수 | 예시 |
|---|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | 2 | x² − 5x + 6 = 0 → x = 2, 3 |
| D = 0 | 중근 (같은 두 실근) | 1 (중복) | x² − 4x + 4 = 0 → x = 2 (중근) |
| D < 0 | 허근 (실수 범위에서 해 없음) | 0 (실수 범위) | x² + x + 1 = 0 → 허근 |
단계별 풀이 예시
x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
D = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0 → 두 실근
x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
x₂ = (5 - 1) / 2 = 2검증: (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6 ✓
인수분해와 근의 공식 비교
| 방법 | 장점 | 단점 | 추천 상황 |
|---|---|---|---|
| 인수분해 | 빠르고 간단 | 인수분해 안 되면 사용 불가 | 계수가 작은 정수일 때 |
| 완전제곱식 | 구조 이해에 유리 | 계산 복잡 | a=1이고 b가 짝수일 때 |
| 근의 공식 | 항상 적용 가능 | 계산량 많음 | 인수분해가 안 될 때 항상 |
이차함수의 꼭짓점
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 그래프(이차함수 y = ax² + bx + c)의 꼭짓점 좌표는 다음과 같습니다.
꼭짓점 x 좌표: -b / (2a)
꼭짓점 y 좌표: c - b² / (4a)
또는 y = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a) 형태로 변환꼭짓점의 x좌표는 두 근의 평균과 같습니다. x₁ = 2, x₂ = 3이면 꼭짓점 x = (2+3)/2 = 2.5입니다.
허근이 나왔을 때
D < 0이면 실수 범위에서 해가 없지만, 복소수 범위에서는 허근 두 개가 존재합니다.
x = (-b ± i√|D|) / (2a) (i = 허수단위, i² = -1)예를 들어 x² + x + 1 = 0 (D = 1 − 4 = −3)이면 x = (−1 ± i√3) / 2입니다. 고등학교 수학에서는 D < 0이면 "실수 범위에서 해 없음"으로 처리합니다.