자연수를 입력하면 소인수분해 과정, 지수 표현, 약수 전체 목록, 약수 개수를 한번에 보여줍니다. 1,000,000까지 입력 가능하며 결과가 즉시 나타납니다.
소인수분해란?
소인수분해(Prime Factorization)는 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것입니다. 소수는 1과 자신만을 약수로 가지는 수(2, 3, 5, 7, 11, 13 …)이며, 모든 자연수는 소수의 곱으로 유일하게 표현할 수 있습니다. 이를 산술의 기본 정리(Fundamental Theorem of Arithmetic)라고 합니다.
360 = 2 × 180
= 2 × 2 × 90
= 2 × 2 × 2 × 45
= 2 × 2 × 2 × 3 × 15
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= 2³ × 3² × 5주요 수의 소인수분해 예시
| 수 | 소인수분해 | 지수 표현 | 약수 개수 |
|---|---|---|---|
| 12 | 2 × 2 × 3 | 2² × 3 | 6 |
| 24 | 2 × 2 × 2 × 3 | 2³ × 3 | 8 |
| 36 | 2 × 2 × 3 × 3 | 2² × 3² | 9 |
| 100 | 2 × 2 × 5 × 5 | 2² × 5² | 9 |
| 360 | 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 | 2³ × 3² × 5 | 24 |
| 1000 | 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 | 2³ × 5³ | 16 |
약수 개수 구하는 공식
소인수분해 결과 n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ 라면 약수의 개수는 다음 공식으로 구합니다.
약수 개수 = (a₁ + 1) × (a₂ + 1) × … × (aₖ + 1)360 = 2³ × 3² × 5¹ 이면 약수 개수 = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2 = 24개입니다. 360의 약수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360으로 정확히 24개입니다.
소인수분해 활용 — 최대공약수·최소공배수
두 수 A, B의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)는 소인수분해로 구합니다.
| 구분 | 방법 | 예시 (36 vs 48) |
|---|---|---|
| 각각 소인수분해 | - | 36=2²×3², 48=2⁴×3 |
| 최대공약수 (GCD) | 공통 소인수 × 낮은 지수 | 2² × 3 = 12 |
| 최소공배수 (LCM) | 모든 소인수 × 높은 지수 | 2⁴ × 3² = 144 |
GCD × LCM = A × B 공식도 성립합니다. 12 × 144 = 36 × 48 = 1,728 ✓
소수 판별법
소수 여부를 확인하려면 √n 이하의 소수로만 나누어보면 됩니다. 예를 들어 97이 소수인지 확인하려면 √97 ≈ 9.8이므로 2, 3, 5, 7로만 나누어 보면 됩니다. 하나도 나누어지지 않으면 소수입니다. 100 이하의 소수는 25개로, 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43·47·53·59·61·67·71·73·79·83·89·97입니다.