확률이란 무엇인가 — 경우의 수와 확률의 차이
확률(Probability)은 어떤 사건이 일어날 가능성을 0과 1 사이의 숫자로 나타낸 것입니다. 경우의 수는 "몇 가지"라는 개수 자체이고, 확률은 그 개수를 전체 경우 수로 나눈 비율입니다. 주사위 한 개를 던졌을 때 1이 나오는 경우의 수는 1가지이지만, 확률은 1/6 ≈ 0.1667, 즉 약 16.67%입니다.
4가지 계산 공식 한눈에 보기
| 유형 | 공식 | 의미 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 기본확률 | P(A) = 유리한 경우 수 / 전체 경우 수 | A가 일어날 확률 | 주사위에서 짝수 나올 확률: 3/6 = 0.5 |
| 여사건 | P(Aᶜ) = 1 - P(A) | A가 일어나지 않을 확률 | 짝수가 나오지 않을 확률: 1 - 0.5 = 0.5 |
| 덧셈법칙 | P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) | A 또는 B 중 하나라도 일어날 확률 | 카드에서 하트 또는 에이스 뽑을 확률 |
| 곱셈법칙(독립) | P(A∩B) = P(A) × P(B) | 독립 사건 A, B 동시에 일어날 확률 | 동전 앞면 연속 3번: (1/2)³ = 0.125 |
공식 표현
기본확률: P(A) = favorable / total
여사건: P(Aᶜ) = 1 - P(A)
덧셈법칙: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
곱셈(독립): P(A∩B) = P(A) × P(B)
여사건 — 계산이 훨씬 쉬워지는 역발상
복잡한 확률 문제에서 "적어도 하나" 또는 "하나도 아닌"을 구해야 할 때, 직접 계산보다 여사건을 이용하는 편이 훨씬 단순합니다.
예를 들어 동전을 5번 던질 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률을 직접 구하면 경우의 수가 C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5)처럼 복잡해집니다. 반면 여사건으로 접근하면 "한 번도 앞면이 안 나올 확률"은 (1/2)⁵ = 1/32이고, 구하는 확률은 1 - 1/32 = 31/32 ≈ 96.875%입니다. 수학 시험에서 여사건을 빠르게 쓸 수 있는지가 속도를 결정합니다.
덧셈법칙 — P(A∩B)를 빼는 이유
P(A) + P(B)를 단순 합산하면 A와 B 동시에 일어나는 경우가 두 번 더해집니다. 52장 카드에서 하트(13장) 또는 에이스(4장)를 뽑을 확률을 생각해봅시다. 하트 에이스는 하트에도, 에이스에도 속하므로 1장이 중복 계산됩니다.
P(하트∪에이스) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 30.77%
배타적 사건(Mutually Exclusive), 즉 A와 B가 동시에 일어날 수 없는 경우에는 P(A∩B) = 0이므로 P(A∪B) = P(A) + P(B)가 성립합니다. 예: 주사위에서 1이 나오면서 동시에 6이 나오는 경우는 없으므로 배타적 사건입니다.
독립 vs 종속 사건 — 곱셈법칙 적용 기준
독립 사건이란 한 사건의 결과가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않는 경우입니다. 동전 던지기, 주사위 굴리기처럼 매번 리셋되는 시행이 독립 사건의 대표 예시입니다.
| 구분 | 정의 | 곱셈 공식 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 독립 사건 | 한 결과가 다른 확률에 영향 없음 | P(A∩B) = P(A) × P(B) | 동전 앞면 연속 2번: 1/2 × 1/2 = 1/4 |
| 종속 사건 | 한 결과가 다른 확률을 바꿈 | P(A∩B) = P(A) × P(B|A) | 복원 없이 카드 2장 연속 에이스 뽑기: 4/52 × 3/51 |
이 계산기의 곱셈법칙 모드는 독립 사건 전용입니다. 복원 없는 추출처럼 종속 사건이라면 조건부확률 P(B|A)를 별도로 계산해 수동으로 곱해야 합니다.
실생활 확률 예시
| 상황 | 유리한 경우 | 전체 경우 | 확률 |
|---|---|---|---|
| 주사위 1개 — 짝수 | 3 (2, 4, 6) | 6 | 50% |
| 주사위 2개 합 = 7 | 6 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) | 36 | 16.67% |
| 52장 카드에서 스페이드 킹 | 1 | 52 | 1.92% |
| 로또 6/45 1등 | 1 | 8,145,060 | 0.0000123% |
| 동전 5번 — 모두 앞면 | 1 | 32 | 3.125% |
조건부확률이란
조건부확률 P(B|A)는 "A가 이미 일어났다는 조건 아래 B가 일어날 확률"입니다. 공식은 P(B|A) = P(A∩B) / P(A)입니다. 예를 들어 52장 카드에서 첫 번째 카드가 에이스라고 이미 알고 있을 때, 두 번째 카드도 에이스일 확률은 3/51 ≈ 5.88%입니다. 첫 번째가 에이스인 것(A)이 두 번째 에이스 뽑기(B)에 영향을 주므로 종속 사건이고, 이를 처리하는 도구가 조건부확률입니다. 의학에서 양성 판정이 나왔을 때 실제 질병일 확률(양성 예측도)도 조건부확률의 응용 사례입니다.
큰 수의 법칙과 확률의 한계
확률은 "충분히 많이 반복하면" 수렴하는 장기 비율입니다. 동전을 10번 던지면 앞면이 3~7번 나오는 경우가 흔하지만, 1,000번 던지면 거의 반드시 45~55% 사이에 수렴합니다. 단기 시행 결과가 확률과 달라도 놀랄 필요가 없는 이유가 여기에 있습니다. 반대로 "이번에 꼭 당첨된다"는 도박사의 오류(Gambler's Fallacy)는 과거 결과가 미래 독립 시행에 영향을 준다는 잘못된 믿음입니다.