등차수열과 등비수열 — 핵심 공식 정리
수열은 수들을 일정한 규칙에 따라 나열한 것입니다. 고등학교 수학에서 가장 많이 다루는 두 가지 유형은 등차수열과 등비수열입니다. 두 수열 모두 "첫째항 a₁"과 "일정한 규칙(공차 또는 공비)"으로 모든 항을 결정할 수 있습니다.
등차수열 (Arithmetic Sequence)
연속하는 두 항의 차이가 항상 같은 수열입니다. 이 일정한 차이를 공차(d)라고 합니다.
n번째 항: aₙ = a₁ + (n-1) × d
첫 n항 합: Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n-1) × d)
= n/2 × (a₁ + aₙ) ← 첫째항과 n번째 항의 평균 × 항 수
예시: 첫째항 2, 공차 3인 등차수열 → 2, 5, 8, 11, 14, ...
- 10번째 항: 2 + (10-1) × 3 = 29
- 첫 10항 합: 10/2 × (4 + 27) = 155
등비수열 (Geometric Sequence)
연속하는 두 항의 비가 항상 같은 수열입니다. 이 일정한 비를 공비(r)라고 합니다.
n번째 항: aₙ = a₁ × r^(n-1)
첫 n항 합: Sₙ = a₁ × (r^n - 1) / (r - 1) (r ≠ 1일 때)
Sₙ = a₁ × n (r = 1일 때)
예시: 첫째항 1, 공비 2인 등비수열 → 1, 2, 4, 8, 16, ...
- 10번째 항: 1 × 2⁹ = 512
- 첫 10항 합: 1 × (2¹⁰ - 1) / (2 - 1) = 1,023
등차수열 vs 등비수열 비교표
| 구분 | 등차수열 | 등비수열 |
|---|---|---|
| 규칙 | 연속 두 항의 차 일정 (공차 d) | 연속 두 항의 비 일정 (공비 r) |
| n번째 항 | a₁ + (n-1)d | a₁ × r^(n-1) |
| 첫 n항 합 | n/2 × (2a₁ + (n-1)d) | a₁(rⁿ-1)/(r-1) |
| 성장 속도 | 선형 (일정하게 증가) | 지수 (기하급수적 증가) |
| 그래프 | 직선 | 지수 곡선 |
| 실생활 예시 | 월급 인상, 연봉 인상액 | 은행 예금 이자, 인구 성장 |
| 한국어 표현 | "매년 10만 원씩 오른다" | "매년 3%씩 오른다" |
실생활 속 등차수열과 등비수열
월급 인상은 등차? 등비?
"연봉이 매년 200만 원씩 오른다"는 등차수열입니다. 공차 d = 200만 원으로, 첫해 3,000만 원이면 10년 후 3,000 + 9 × 200 = 4,800만 원입니다.
반면 "연봉이 매년 5%씩 오른다"는 등비수열입니다. 공비 r = 1.05로, 첫해 3,000만 원이면 10년 후 3,000 × 1.05⁹ ≈ 4,654만 원입니다. (같은 기간이지만 등비가 등차보다 약간 적습니다. 30년 후에는 반대로 등비가 훨씬 큽니다.)
은행 예금 이자는 등비수열
연 이율 3%로 원금 100만 원을 예치하면:
- 1년 후: 103만 원
- 2년 후: 106.09만 원
- 3년 후: 109.27만 원
- 10년 후: 100 × 1.03¹⁰ ≈ 134.4만 원
이처럼 복리 계산은 공비 r = (1 + 이율)인 등비수열입니다. 첫째항이 원금, n번째 항이 n년 후 원리금이 됩니다.
바이러스 확산도 등비수열
한 명이 매일 2명에게 전파한다면 공비 r = 2인 등비수열입니다. 1일 차 1명 → 10일 차 2⁹ = 512명 → 20일 차 2¹⁹ = 524,288명으로 기하급수적으로 늘어납니다. "기하급수적"이라는 표현 자체가 등비수열(geometric sequence)에서 온 말입니다.
등차수열과 등비수열 증가 속도 비교
| 항 번호 | 등차수열 (a₁=1, d=1) | 등비수열 (a₁=1, r=2) | 등비÷등차 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1배 |
| 5 | 5 | 16 | 3.2배 |
| 10 | 10 | 512 | 51.2배 |
| 20 | 20 | 524,288 | 26,214배 |
| 30 | 30 | 536,870,912 | 1.8억 배 |
초반에는 큰 차이가 없지만 항 번호가 커질수록 등비수열이 압도적으로 커집니다. 이 차이가 복리 투자와 단리 투자의 장기적 격차로 나타납니다.
무한등비급수 — 공비가 1보다 작을 때
|r| < 1인 등비수열의 모든 항을 더하면 유한한 값으로 수렴합니다. 이것을 무한등비급수라고 합니다.
S∞ = a₁ / (1 - r) (|r| < 1일 때)
예시: 첫째항 1, 공비 1/2인 수열 → 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
S∞ = 1 / (1 - 1/2) = 2
이 개념은 고등학교 수학II의 극한 단원과 연결됩니다. 예를 들어 0.999... = 1이라는 사실도 첫째항 9/10, 공비 1/10인 무한등비급수로 증명할 수 있습니다.
이 계산기는 유한 합(Sₙ)을 계산하며, 무한급수 계산은 |r| < 1인 경우 위 공식을 직접 사용하세요.
고등 수학에서 수열의 위치
수열은 한국 수학교육과정에서 수학II(수능 공통 과목)에 포함됩니다. 수능 가형·나형 모두 수열 문제가 출제되며, 매년 2~4문항 정도가 출제됩니다. 특히 다음 유형이 자주 등장합니다:
- 등차·등비 조건이 섞인 복합 문제
- Σ(시그마) 기호를 활용한 합 계산
- 점화식으로 정의된 수열의 일반항 구하기
- 수열의 극한 (무한급수 포함)
이 계산기로 기본 공식을 빠르게 검증하고, 복잡한 점화식 문제는 직접 계산 과정을 확인하는 용도로 활용하세요.